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第170章 数学家（第2页）

创作背景:

刘徽自幼学习《九章算术》，在长期研究过程中，他发现原书存在一些不足和有待完善之处，于是对其进行了详细注释，

主要内容:

数系理论：用数的同类与异类阐述通分、约分等运算法则，明确给出正数、负数概念，探讨数系基本元素问题，完善正负数加减方法，还创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。

筹式演算理论：给率明确定义，以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立数与式运算的统一理论基础，并用“率”定义中国古代数学中的“方程”。

勾股理论：逐一论证勾股定理与解勾股形的计算原理，建立相似勾股形理论，发展勾股测量术，形成中国特色的相似理论。

面积与体积理论：用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出刘徽原理，解决多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。

重要创见:

割圆术与圆周率：在《九章算术·圆田术》注中，用割圆术证明圆面积精确公式，并算出圆内接正192边形的面积，得到π=3。14，又算到3072边形的面积，得出π=3。1416，即“徽率”。

刘徽原理：在《九章算术·阳马术》注中，用无限分割方法解决锥体体积时，提出多面体体积计算的刘徽原理。

牟合方盖：在《九章算术·开立圆术》注中，指出球体积公式的不精确性，并引入“牟合方盖”几何模型。

方程新术：在《九章算术·方程术》注中，提出解线性方程组的新方法，运用比率算法思想。

重差术：在自撰的《海岛算经》中，提出重差术，采用重表、连索和累矩等测高测远方法，并使重差术由两次测望发展为“三望”“四望”。

作品影响:

《九章算术注》中蕴含的逻辑思想、重验思想、极限思想等极其深邃，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生根本性变化并上升到新的阶段，刘徽也堪称世界数学泰斗。

割圆术的基本原理是用圆内接正多边形的面积或周长去无限逼近圆的面积或周长，进而求得圆周率的近似值。具体如下：

从圆内接正六边形开始：由于圆的内接正六边形的边长等于半径，其周长与直径之比为“周三径一”。在此基础上，依次等分圆周，得到圆内接正十二边形、二十四边形等，边数不断加倍。

利用勾股定理计算边长：通过勾股定理，根据已知的圆内接正多边形的边长和半径等数据，计算出边数增加后的正多边形的边长，从而得到其周长和面积

，这些数值会随着边数的增加越来越接近圆的周长和面积。

极限思想的应用：刘徽指出，当分割越来越细，达到“不可再割”的极限程度时，内接正多边形与圆相合，内接正多边形与圆面积之差递减为零，即通过不断增加边数，使正多边形无限逼近圆，以实现用有限的计算来逼近无穷的精确值。

“重差”是中国古代数学中的一种测量方法。

它主要用于测量远方物体的高度、深度、宽度等。通过两次测量的差值来计算目标物体的相关数据。

在刘徽的《海岛算经》中，重差术发挥了重要作用。书中记载了多种利用重差术进行测量的情况。比如“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？”这就是利用重差术解决海岛高度和距离问题的典型例子，通过设立两根等高的标杆，测量两次人目看岛峰与标杆顶端重合时后退的步数等数据，根据这些数据之间的比例关系，进而推算出海岛的高度和与标杆的距离等相关信息。这种方法体现了中国古代数学在实际测量应用中的智慧。

《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所着的一部测量学着作，原是《刘徽九章算术注》的第十卷，名为《重差》，唐代时从《九章算术》中分离出来单独成书，并以第一题“今有望海岛”得名。以下是其详细介绍：

内容:

全书共9题，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算目标的高、深、广、远等

。比如第一题通过立两根等高的表，测量人目看岛峰与表末重合时从前表和后表退行的步数等数据，进而求得岛高和岛与前表的距离；第二题求松高及山与表的距离；第三题则是通过立两表用索连之，测量相关数据来计算邑方及邑与表的距离等。

方法:

书中使用了重表法、连索法、累矩法等测量方法。重表法如第一题中通过两根等高表测量海岛；连索法是用绳索连接两表进行测量，如第三题测量方邑；累矩法是通过设置多个矩尺来测量，如第四题测量深谷。

历史意义:

《海岛算经》是中国最早的测量数学专着，使中国在测量学方面领先于西方约一千年。它为中国古代高度发达的地图学奠定了数学基础，书中的重差术更是测量学历史上的领先创造

。此外，该书在唐代传入朝鲜、日本等国，对周边国家的数学发展也产生了一定影响。

后世研究:

南北朝数学家祖冲之曾为《九章重差图》作注。

唐初李淳风等注释《算经十书》，《海岛算经》是其中之一，且规定其学习期限为三年，可见该书在唐代受重视程度。后世还有诸多数学家如南宋秦九韶、杨辉，元代朱世杰，清戴震、李潢、沈钦裴等都对其进行过研究或注释。